Trimite referat

Stiati ca ...

Becul electric a fost inventat de catre Tomas Edison.

› vrei mai mult

Horoscopul zilei

Rac
(22 Iunie - 22 Iulie)


Este o zi grea pentru tine, te vei simti obosit/a. Trebuie, totusi, sa faci un efort sa ramai conectat/a la ce se intampla in jurul tau.

› vrei zodia ta
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.



Functia de gradul al doilea

Materie: Matematica
Accesari: 19.589
Download-uri: 3.273
Nota: 5.49 (1394 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9



Download Referat - Functia de gradul al doilea
Publicitate:

Trimis de aurel
din 10 Martie 2006

Prefata



Aceasta lucrare a fost realizata cu sprijinul corporatiei "Paul & Co." si se adreseaza unor anumite categorii de persoane, si anume elevilor de liceu care doresc sa-si aprofundeze cunostintele in domeniul matematicii.



De asemenea aceasta sinteza, scurta si la obiect, a functiei de gradul II este foarte utila elevului modern din ziua de astazi care nu se omoara cu invatatul si doreste sa faca intr-asa fel incat sa scape cat mai repede.



Lucrarea de fata nu numai ca-l face sa retina esentialul intr-o perioada relativ scurta, ba chiar il poate atrage, si pe viitor, cu siguranta va rezerva mai mult timp studiului.



Partea teoretica



DEFINITIA FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE



Definitie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a1 0, functia f : RR definita prin formula: f(x) = ax2 + bx + c se numeste functie de gradul al doilea cu coeficientii a, b, c.



Deoarece domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este R vom indica aceasta functie astfel:

f(x) = ax2 + bx + c sau y = ax2 + bx + c



O functie de gradul al doilea f : RR, f(x) = ax2 + bx + c este perfect determinata cand se cunosc numerele reale a, b, c (a 1 0).



Trebuie sa observam ca in definitia functiei de gradul al doilea conditia a 1 0 este esentiala in sensul ca ipoteza a = 0 conduce la functia de gradul intai, studiata in clasa a VIII-a.



Denumirea de functie de gradul al doilea provine din faptul ca este definita prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX2 + bX + c.



Exemple de functii de gradul al doilea

f1 (x) = 7x2 - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10);

f2 (x) = 2x2 + 2x + 1, (a = 2, b = 2, c = 1);

f3 (x) = 0.51x2 - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0);

f4 (x) = x2 + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31);

f5 (x) = -x2 - 5x - 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31).



VARIATIA Si REPREZENTAREA GRAFICA A FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA



Forma canonica



Reamintim ca pentru orice x R

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a2]



Rezulta ca pentru orice x R, avem

f(x) = a[(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a2] (1)



Membrul drept al egalitatii (1) se numeste forma canonica a functiei patratice. Numarul ? = b2 - 4ac, discriminantul ecuatiei asociate (ax2 + bx + c = 0), se mai numeste discriminantul functiei patratice.



Observam ca f(-b/2a) = -?/4a

Exemple

2x2 - x + 3 = 2[x2 - 1/2x + 3/2] = 2[x2 - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)2 + 23/16] = 2(x - 1/4)2 + 23/8;

-3x2 - 4x + 5 = (-3)[x2 + 4/3x - 5/3] = (-3)[x2 + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)2 - 19/9] = (-3)(x +2/3)2 + 19/3



Maximul si minimul

Exemple

f : RR, f(x) = 2x2 - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)2 + 23/8, " x R, deci f(1/4) = 23/8 si f(x) 3 f(1/4), " x R.



Rezulta ca 23/8 este cea mai mica valoare sau minimul functiei f pe R.

f : RR, f(x) = -3x2 - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)2 + 19/3, " x R, deci f(-2/3) = 19/3 si f(x) L f(-2/3), " x R



Rezulta ca 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul functiei f pe R.



In general, avand in vedere forma canonica a functiei patratice f(x) = ax2 + bx + c si faptul ca f(-b/2a) = -?/4a, rezulta ca pentru orice x R

f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)2



Constatam ca semnul diferentei din membrul stang depinde de semnul numarului a, deci pentru orice x R avem:

daca a > 0, f(x) 3 f(-b/2a), deci f admite un minim pe R;

daca a < 0, f(x) L f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R;



Fie functia f : RR, f(x) = ax2 + bx + c, a 1 0.

Daca a > 0, minimul functiei f pe R este "?/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este "b/2a.

Daca a < 0, maximul functiei f pe R este "?/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este "b/2a.



Sensul de variatie (intervalele de monotonie)

Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale functiilor g si h definite pe R, g(x) = |x - 2| + 3 si h(x) = -|x + 3| + 1. Avem:

g(x) = x + 1, x 3 2 h(x) = -x - 2, x 3 -3

-x + 5, x < 2 x + 4, x < -3



Functia g are minimul in punctul x = 2 (g(x) 3 g(2), adica |x - 2| + 3 3 3 sau |x - 2| 3 0, " x R) si este strict descrescatoare pe (-?; 2], strict crescatoare pe [2; + ?).



Functia h are maximul in punctul x = -3 (h(-3), " x R) si este strict crescatoare pe (-?; -3], strict descrescatoare pe [-3; + ?).



Fie functia f : RR, f(x) = ax2 + bx + c, a 1 0.



Daca a > 0, atunci f are minim pe R si vom arata ca se comporta analog cu functia g. Daca a < 0, atunci f are un maxim si vom arata ca se comporta analog cu functia h.



Fie u, v R, u 1 v. Raportul de variatie asociat lui f si numerelor u, v este (f(u) � f(v))/(u-v) = (au2 + bu - av2 - bv)/(u - v) = a(u + v) + b



Sa studiem semnul raportului de variatie in cazul a > 0.



Daca u, v (-?; -b/2a], atunci din u L -b/2a, v L -b/2a, rezulta u + v L -b/a sau a*(u + v) + b L 0. Avem a*(u + v) + b = 0 - u = v = -b/2a, situatie care nu poate avea loc, deoarece prin ipoteza u 1 v. Rezulta a*(u + v) + b < 0, deci in cazul a > 0, f este strict descrescatoare pe (-?; -b/2a].



Daca u, v [-b/2a; + ?), deducem analog a(u + v) + b > 0, deci in ca...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Functia de gradul al doilea
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Clopotel.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe website-ul nostru. Prin click pe butonul "Accepta" accepti utilizarea modulelor cookie. Daca ai nevoie de mai multe detalii despre cum functioneaza acestea, citeste Politica de confidentialitate