Trimite referat

Stiati ca ...

Hindusii sunt vegetarieni deoarece considera animalele ca fiind sfinte.

› vrei mai mult

Horoscopul zilei

Fecioara
(23 August - 21 Septembrie)


Azi va trebui sa fii foarte atent/a la ce mananci! Posibil ca stomacul sa iti dea de furca. Nu incerca experimente alimentare.

› vrei zodia ta
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.



Inductia matematica

Materie: Matematica
Accesari: 22.845
Download-uri: 3.541
Nota: 5.30 (1515 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9



Download Referat - Inductia matematica
Publicitate:

Trimis de Klaitty
din 28 Iulie 2004

Metode de rationament



Metoda directa( modus poneus) - pornind de la o propozitie A si folosind principiul silogismului demonstram ca o alta propozitie este adevarata.

Metoda indirecta reducerea la absurd ce se bazeaza pe echivalenta (pq) (qp)

Metoda inductiei









Metoda inductiei

A. Egalitati



P(n): 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 n1





I. P(1): 1=1 (A)

II. P(n) (A)P(n+1) (A)



P(n+1):1+2+3...+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2

n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2

(n+1)(n+2)/2=(n+1)(n+2)/2 (A)

I+II P(n) (A) "n1



Deci: 1+2+3...+n = k = n(n+1)/2 , n1





P(n): 1? +2? +3? +...+n?= n(n+1)(2n+1)/6 n1



I. P(1): 1=1 (A)

II. P(n) (A) P(n+1) (A)



P(n+1): 12 +22 +32 +...+n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)/6

n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)? =( n+1)(n+2)(2n+3)/6

(n+1)(n+2)(2n+3)/6=( n+1)(n+2)(2n+3)/6 (A)



I+IIP(n) (A) "n1



12 +22 +32 + ... +n2 = k2 = n(n+1)(2n+1)/6, n1



13+23+33+...+n3= [n(n+1)/2]2 n1



I. P(1): 1=1 (A)

II. P(n) (A) P(n+1) (A)



P(n+1):13+23+33+...+n3+(n+1)3 = [(n+1)(n+2)/2]2

[n(n+1)/2]2 +(n+1)3= [(n+1)(n+2)/2]2

[(n+1)(n+2)/2]2 = [(n+1)(n+2)/2]2 (A)



I+IIP(n) (A) "n1



13+23+33+...+n3=k3 =

[n(n+1)/2]2, n1



a1+a2+..+ana1+a2+...+an n2







Exemple de egalitati rezolvate prin inductie



ex 1: S=14+27+310+...+n(3n+1)

=k(3k+1) = 3k2+k = 3k2+k = 3k2+

= 3n(n+1)(2n+1) /6+n(n+2)/2

= n(n+1)(2n+1)+n(n+2)/2

= n(n+1)(2n+1+1)/2

= n(n+1)2



ex 2: p(n): 14+27+...n(3n+1)=n(n+1)2 n1

I P(1): 1C4=1(1+1)2 4=4 (A)

II P(n) P(n+1):14+27+...+n(3n+1)+(n+1)(3n+4)=(n+1)(n+2)2

n(n+1)2+(n+1)(3n+4) = (n+1)(n+2)2

(n+1)(n2+n+3n+4) = (n+1)(n+2)2

I+IIP(n) (A) "n1



ex 3: p(n): 1/(13)+1/(35)+...+1/[(2n-1)(2n+1)]=n/(2n+1)

1/[(2k-1)(2k+1)]=1/2 [1/(2k-1)-1/(2k+1)] 1/[(2k-1)(2k+1)]=n/(2n+1)

S1=1/(13)=1/3

S2=S1+1/(13)=2/5

S3=S2+1/(57)=3/7

I P(1): 1/3=1/(21+1)

II P(k) P(k+1)

P(k+1): 1/(13)+1/(35)+...+ 1/[(2n-1)(2n+1)]+1/[(2n+1)(2n+3)]=(n+1)/(2n+3)

n/(2n+1)+1/[(2n+1)(2n+3)]=(n+1)/(2n+3)

[n(2n+3)+1]/[(2n+1)(2n+3)]=(n+1)/(2n+3)

(2n2+3n+1)/[(2n+1)(2n+3)]= (n+1)/(2n+3)

[(n+1)(2n+1)]/[(2n+3)(2n+1)]=(n+1)/(2n+3) (A)

I+IIP(n) (A) "n1



Exemple de inegalitati rezolvate prin inductie



ex 1: p(n): 2n>n2 ; n5

I P(5): 25ᡬ 32ᡑ

II P(n) P(n+1): 2n+1>(n+1)2

2n>n2 2 2n+1 > 2n2 > (n+1)2

2n2ɮn2 2n+1ɮn2

Avem de dem ca 2n2>(n+1)2

2n2>n2+2n+1 n2-2nɭ +1

n2-2n+1ɮ (n-1)2ɮ "n5

n5 n-14 (n-1)216ɮ (A)

I+IIP(n) adevarata "n5



ex 2: p(n): 1/(n+2)+1/(n+2)+...+1/(2n)ᡅ/24 n2

I P(2): 1/3 +1/(2+2)ᡅ/24 7/12ᡅ/24 14/24 ᡅ/24 (A)

II P(n+1): 1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2)ᡅ/24

ᡅ/24-1/(n+1)+1/(2n+1)+1/(2n+2)

=13/24-1/(2n+2)+1/(2n+1)

= 13/24 +1/[2(n+1)(2n+1)]

1/[2(n+1)(2n+1)]ɬ 13/24 +1/[2(n+1)(2n+1)]ᡅ/24

I +IIP(n) adevarata "n2



ex 3: p(n): 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n+1)ɭ n1 2n+1 termeni

I P(1): 1/(1+1)+1/(1+2)+1/(1+3)ɭ 13/12ɭ (A)

II P(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)

ɭ-1/(n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)

= 1+ ceva/[3(n+1)(3n+2)(3n+4)] ɭ

cevaɬ ; 3(n+1)(3n+2)(3n+4)ɬ (A)

I+II P(n) adevarata "n1



Alte exemple rezolvate prin inductie





ex 1: p(n): 10n+18n-28 : 27 n0

I P(0): -27 :27 (A)

II P(n) (A) P(n+1): 10n+1+18(n+1)-28 :27

10n+18n-28=27p10n+1+18n-10=27q

10n= 27p -18n+28

10n+1+18n-10=1010n+18n-10=10(27p -18n+28)+18n-10

=1027p-180n+280+18n-10

=1027p-162n+270=27(10p-6n+10)=27q

I+IIP(n) (A) "n0



ex 2: daca n10 atunci 2n>n3 n1

P(n): (1/2)(3/4)... (2n-1)/2nə/(2n+1)

I P(1):1/2 ə/3 2ɯ (A)

II P(n+1): 1/23/4... (2n-1)/2n (2n+1)/(2n+2)ə/(2n+3)

ə/(2n+1) (2n+1)/(2n+2)< 1/(2n+3)

(2n+1)/(2n+2)< 1/(2n+3)

(2n+1)(2n+3)ɚn+2

4n2+8n+3ɜn2+8n+4 3ɜ (A)

I+IIP(n) (A) "n1



ex 3: P(n): 2n>n3 n10

I P(10): 210 1024򗧈 (A)

II P(n) (A) P(n+1)

P(n+1): 2n+1>(n+1)3

...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Inductia matematica
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Clopotel.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe website-ul nostru. Prin click pe butonul "Accepta" accepti utilizarea modulelor cookie. Daca ai nevoie de mai multe detalii despre cum functioneaza acestea, citeste Politica de confidentialitate