Trimite referat

Stiati ca ...

In timpul Evului Mediu inotul era considerat a fi periculos, dar si imoral.

› vrei mai mult

Horoscopul zilei

Berbec
(21 Martie - 20 Aprilie)


In aceasta zi o sa descoperi ca faci anumite lucruri gresite in grupul tau de prieteni. Daca situatia devine tensionata, nu strica sa iti ceri scuze si sa fii mai atent/a pe viitor.

› vrei zodia ta
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.



Siruri de numere reale

Materie: Matematica
Accesari: 15.946
Download-uri: 3.511
Nota: 5.16 (1260 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9



Download Referat - Siruri de numere reale
Publicitate:

Trimis de spider007
din 12 Noiembrie 2002

Siruri de numere reale



In cadrul acestui prim material referitor la sirurile de numere reale, vom prezenta cateva dintre criteriile de convergenta de baza, urmate de exercitii rezolvate cu ajutorul acestora. Urmatoarele materiale vor trata:

calculul limitelor de siruri definite prin termenul general;

siruri definite prin recurenta.



A) Teorema cu (definitia convergentei)



Sirul este convergent catre numarul real daca pentru orice exista astfel incat pentru orice sa avem . Numarul real se numeste limita sirului .

Aceasta este de fapt o exprimare formala a definitiei cu vecinatati prezentate in manual.

Sirul are limita (respectiv ) daca pentru orice exista astfel incat pentru orice sa avem (respectiv ).



Ex. rezolvat 1. Sa se arate, folosind definitia, ca:

a)

b)



Solutie. a) Trebuie sa aratam ca:



Avem insa

Rezulta ca, atunci cand . Inegalitatea devine:

(atentie la monotonia functiei exponentiale ). Putem deci alege .

b) Trebuie sa aratam ca:

. Aceasta inegalitate devine:



Se calculeaza discriminantul trinomului de gradul al II-lea:



Acesta este la randul sau un trinom de gradul al II-lea in , avand discriminantul . Radacinile ecuatiei sunt deci . Ne intereseaza semnul trinomului pentru .

Pentru . Inecuatia este verificata de orice valoare a lui . Se poate alege in acest caz .

Daca insa . Inecuatia este verificata cand . Se poate alege .

Rezulta ; in consecinta, .



Observatie. Acest criteriu ne permite sa stabilim daca un sir cu termenul general specificat tinde sau nu la o limita de asemenea precizata. Nu putem determina efectiv valoarea limitei recurgand la acest criteriu.



B) Criteriul majorarii.



Daca sirul cu teremenii pozitivi este convergent la zero si are loc inegalitatea:



atunci sirul este convergent la .

Daca avem , atunci

Daca avem , atunci .









Ex. rezolvat 2. Utilizand criteriul majorarii, sa se arate ca:

a)

b)



Solutie. a) Avem . Cum

b) Fie . Dezvoltam cu binomul lui Newton:



Insa toti termenii care apar in dezvoltare sunt pozitivi, deoarece . Suma tuturor termenilor fiind n, fiecare dintre acestia trebuie sa fie mai mic decat n. Scriem aceasta pentru termenul al treilea:



Cum



Ex. rezolvat 3. Fie sirul cu termenul general . Sa se calculeze .



Solutie. Avem . Cum





C) Criteriul clestelui



Fie trei siruri astfel incat:



Atunci .



Ex. rezolvat 4. Sa se calculeze:



Solutie. Fie . Evident ca nu putem calcula sub o forma mai simpla. Observam insa ca:

. Rezulta de aici:



Se observa acum ca . Conform criteriului clestelui, rezulta ca .



Observatie. Criteriul majorarii si cel al clestelui ne scot oarecum din incertitudine; ele permit calculul limitelor unor siruri pentru care putem stabili inegalitati in raport cu siruri cu limite cunoscute.



D) Marginit convergent la zero



Acest criteriu este inclus ca exercitiu in manualul clasic (editiile 1979-2000). Utilitatea sa iese in special in evidenta la stabilirea existentei unor limite de functii “ciudate”, cum ar fi .



Fie sirurile , iar sirul fiind marginit. Sa se arate ca sirul-produs este convergent la zero.



Demonstratie. marginit è exista numarul real astfel incat .

Dar astfel incat . Rezulta ca avem .



Ex. rezolvat 5. Sa sa arate ca

Solutie. Avem . Conform criteriului precedent, rezulta ca .



E) Criteriul subsirurilor



Acest criteriu este cel mai adesea utilizat pentru a demonstra ca un sir dat este divergent. Exemple tipice de astfel de siruri sunt cele care contin in expresia termenului general



Daca doua subsiruri distincte ale unui sir dat au limite diferite (sau sirul dat contine un subsir a carui limita nu exista), atunci sirul dat nu are limita.

Daca un sir dat este acoperit de subsiruri avand o limita comuna. Intreg sirul tinde spre acea limita (nu am vorbit de convergenta, pentru a include si cazul in care limita comuna este ).

Observatie. Prin “acoperit” intelegem ca subsirurile respective cuprind toti termenii sirului. Spre exemplu, subsirurile acopera un sir dat, in timp ce subsirurile nu il acopera.



Ex. rezolvat 6. Sa se studieze convergenta sirurilor cu termenii generali:

a)

b)

Solutie. a) Sirul dat contine subsirurile:

si . Prin urmare, sirul dat este divergent.

b) Avem . Rezulta ca sirul este convergent la 1.



F) Monotonie + marginire.



Acesta este criteriul “clasic” al lui Weierstrass, aplicabil atat pentru siruri definite prin termenul general, cat si pentru siruri definite prin relatii de recurenta. Nu il mai amintim aici, deoarece este prezentat in toate manualele.



Ex. rezolvat 7. Fie un sir cu proprietatile . Sa se arate ca sirul este convergent.



Solutie. Ce apare oarecum dificil aici este ca sirul implicat nu este definit strict prin formula termenului general sau relatie de recurenta. Sirul este caracterizat numai prin doua inegalitati, din care trebuie sa rezulte c...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Siruri de numere reale
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Clopotel.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe website-ul nostru. Prin click pe butonul "Accepta" accepti utilizarea modulelor cookie. Daca ai nevoie de mai multe detalii despre cum functioneaza acestea, citeste Politica de confidentialitate