Trimite referat
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Relatia lui Van Aubel si aplicatii la rezolvarea problemelor de geometrie

Materie: Matematica
Accesari: 6.273
Download-uri: 843
Nota: 5.04 (2073 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9


Download Referat - Relatia lui Van Aubel si aplicatii la rezolvarea problemelor de geometrie
Publicitate:

Trimis de Anonim
din 23 Februarie 2009

Am alcatuit acest material in urma cu 10 ani, prin toamna lui 1991 cu intentia de a-l trimite spre publicare Gazetei Matematice. In cele din urma, m-am razgandit – nu consideram ca este suficient de bine facut pentru a-si gasi locul acolo. Il scot acum de la arhiva in speranta ca voi trezi interesul macar catorva persoane pasionate ca si mine de geometria “clasica”.

OBSERVATIE. La vremea liceului (prin toamna lui 1985), dl. profesor Cristian Bosneag de la Liceul de Informatica ne-a predat relatia de care voi vorbi in cele ce urmeaza. In manualele de atunci, nu era cuprinsa nici macar ca exercitiu. In actualele manuale, nu are cum, programa de geometrie fiind supraincarcata cu vectori si geometrie analitica. Geometria “clasica” a fost izolata in clasele VI-VIII, cand elevii abia invata sa rezolve ecuatii de gradul I. Nu sunt impotriva geometriei analitice, dar cred ca 40 de ore in clasa a XI-a erau suficiente. Materialul de fata se vrea o pledoarie in favoarea geometriei “clasice”, prea usor aruncata la gunoi de dragul reinnoirii programelor scolare.

Relatia (1) poarta numele de relatia lui Van Aubel. Sincer vorbind, nu am idee cine a fost Van Aubel. O alta relatie descoperita de el este utila la calculul lungimii unei ceviene plecand din varful unghiului drept intr-un triunghi dreptunghic; aceasta din urma o puteti gasi in excelenta carte “Surprize in matematica elementara” publicata de dr. Viorel Gh. Voda in 1981 la Ed. Albatros.

Sa revenim insa la relatia (1). Utilitatea ei apare imediat: cu ajutorul acestei relatii putem calcula direct raportul segmentelor determinate de punctul de intersectie a trei ceviene pe oricare dintre ele, fara a mai recurge la teoremele lui Menelaus sau Ceva. Relatia este de fapt un ‘shortcut’ extrem de util la calculul rapoartelor sus-amintite.
Demonstratie. Scriem teorema lui Menelaus in triunghiul AA’C intersectat de transversala BIB’:
(2)
Pe de alta parte, scriem teorema lui Ceva pentru cevienele concurente AA’, BB’ si CC’ si rezulta:

Construim proportii derivate pentru a scoate raportul , pe care il vom inlocui apoi in relatia (2):

Relatia (2) devine astfel:

Problema rezolvata 1 (105/25 din [1]). Fie M si N doua puncte situate pe laturile (AB) si (AC) ale triunghiului ABC astfel incat:

unde G este punctul de intersectie al segmentelor (BN) si (CM). Sa se demonstreze ca si .

Conform teoremei lui Ceva, putem scrie:
(4)
Intra acum in scena starul serii: relatia lui Van Aubel. Conform acesteia, putem scrie:
(5)
(6)
Din relatiile (5) si (6), rezulta imediat ca ; inlocuind aceasta valoare in relatia (6), obtinem . Din relatia (4), se deduce acum imediat ca .
Revenind la notatii, avem:

Problema rezolvata 2 (59/20 din [1]). Fie triunghiul ABC. Consideram punctele astfel incat si , unde sunt numere reale pozitive. Sa se calculeze rapoartele si .

Solutie. Notam . Conform teoremei lui Ceva, avem:

Se scriu acum relatiile lui Van Aubel:
(8)
(9)
Relatiile (8) si (9) exprima chiar rezultatele cerute.

Problema rezolvata 3. (4/97 din [2]) In punctele A si B ale unui cerc, care nu sunt diametral opuse, se duc doua tangente la cerc, care se intalnesc in C. Prin A se duce o paralela la BC, care taie cercul in D. Dreapta CD taie cercul in E, iar dreapta AE intersecteaza pe BC in F. Sa se demonstreze ca:
a)
b) Triunghiurile ACF si CEF sunt asemenea;
c)
d)
e) Sa se determine masura unghiului astfel incat .



Figura 4. La problema rezolvata 3.

Solutie. Aceasta problema este se pare alcatuita de profesorul Octavian Sacter prin anii ’50; a fost subiect de admitere la zeci de examene (mai putin punctul e), adaugat ceva mai recent; de altfel, acest punct face legatura cu tema materialului de fata).
a) , ca alterne interne formate de dreptele AD si BC cu secanta DC. Dar ==> .
b) Conform punctului a), cele doua triunghiuri au . In plus, mai avem (unghi comun). Rezulta ca ele sunt asemenea (cazul II).
c) Scriem asemanarea triunghiurilor de la punctul b):

d) Puterea lui F fata de cerc se scrie (O este centrul cercului). Dar triunghiul OBF este dreptunghic in B, deci . Rezulta ca (conform punctului c)), deci .
e) Fie .
Conform teoremei lui Ceva in triunghiul ABC pentru cevienele concurente AF, BG si CH, avem:
(10)
Scriem relatia lui Van Aubel:

Tinem acum cont de ipoteza si de relatia (10). Rezulta:
==> [CH] este mediana in triunghiul ABC.
Triunghiul ABC este isoscel (, ca tangente duse din C la cerc) ==> mediana [CH] este si inaltime ==> . Pe de alta parte, (diametrul este perpendicular pe mijlocul coardei) ==> punctele O, C, H sunt coliniare ==> [ED] diametru al cercului ==> (unghiul EAD fiind inscris in semicercul EBD) ==> .
Dar ==> [AF] este mediana si inaltime in triunghiul ABC ==> ==> triunghiul ABC este echilateral. Rezulta .

Problema rezolvata 4. Bisectoarele (AD), (BE)...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Relatia lui Van Aubel si aplicatii la rezolvarea problemelor de geometrie
Acest site foloseste cookies. Prin navigarea pe acest site, va exprimati acordul asupra folosirii cookie-urilor. Detalii aici OK