Trimite referat

Stiati ca ...

Thomas Edison are mai mult de 1.300 de inventii brevetate in SUA si in alte tari. El si-a stabilit o "fabrica de inventii", un laborator industrial de inventii, in care si-a propus sa produca cate o inventie la interval de 10 zile. Intr-o perioada de 4 ani el a obtinut 300 de brevete, ceea ce inseamna o inventie la 5 zile!

› vrei mai mult
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.



Regula lui l'Hospital

Materie: Matematica
Accesari: 7.359
Download-uri: 1.518
Nota: 5.24 (1843 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9



Download Referat - Regula lui l'Hospital
Publicitate:

Trimis de aurel
din 10 Martie 2006

Folosind derivatele se poate stabili o metoda generala care acopera multe din situatiile intalnite si face calculul limitelor mai simplu.
0
a)Incepem cu examinarea cazului -, mai precis al limitelor de forma
0
f(x)
Prelucrand convenabil raportul------ si aplicand teoreme asupra limitelor,
g(x)
putem calcula limita acestuia.

Regula lui l'Hospital.Fixam doua functii reale f,gdefinite pe un interval<a,b>
si un punct X0 e <a,b>.Presupunem satisfacute urmatoarele conditii:
1.f si g sunt derivabile pe <a,b>X0 si continue in X0;
2.f(X0)=0,g(X0)=0;
3.g'(X) nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui X0(" XeVX0);
f'(x)

4.exista limita lim33 =l
g'(x)
f(x)
In aceste conditii,exista limita lim33 =l
g(x)

Demonstratie.Aplicand teorema lui Cauchy rezulta ca pentru orice x e [a,b]
f(x) f(x)-f(x0) f'(c)
I V, 3 == 3333 = 33 ,cu c=cx situat intre x0 si x.Daca x•x0,atunci
g(x) g(x)-g(x0) g'(c)
f(x)
cx•x0 si ,folosind ipoteza 4 rezulta ca 33 •l pentru x•x0.Trebuie
g(x)
observat ca nu este nevoie ca f si g sa fie derivabile si in punctulx0;subliniem
de asemenea,includerea cazului cand l=+Y sau l=-Y . f(x)

O situatie des intalnita este urmatoarea.Se cere lim 3 ,stiind ca lim
g(x)
f(x)=0 lim g(x),fara ca functiile f si g sa fie ambele definite in punctul x0.Are loc analogul teoremei enuntate (pentru limite la stanga)si anume:
Fie f,g:[a,x0]•R.Presupunem satisfacute urmatoarele conditii:
1.f si g derivabile pe (a,x0);
2.lim f(x) = lim g(x) =0;
3.g(x) si g'(x) nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui x0,(" x e V I (a,x0));
f'(x)

4.Exista lim33 =l
g'(x)
f(x)
In aceste conditii,lim 3 exista si este egala cu l.
g(x)
Demonstratia este imediata,de indata ce remarcam ca functiile f1, g1 : :[a,x0]•R,f1(x)=f(x),daca x e[a,x0],f1(x0)=0;g1(x)=g(x),daca x e [a,x0] si g1(x0)=0 sunt continue pe [a,x0] (ele sunt prelungirile prin continuitate in punctul x=x0 ale lui f,respectiv g) si ca se verifica conditiile regulii lui l'Hospital.Desigur are loc o teorema similara,inlocuind intervalul [a,xo] cu intervalul [xo,b],pentru limite la dreapta.

b)Regula lui l'Hospital ne permite sa tratam si alte cazuri exceptate de
Y f(x)
pilda cazul 3 .Daca ne intereseaza lim 3 si daca f(x)•Y,g(x)•Y,atunci
Y 1 g(x)
3
f(x) g(x) 1 1
putem scrie 3 = 3 si atunci 3 •0, 3 •0,reducandu-neastfel la cazul
g(x) 1 g(x) f(x)
3
0 f(x)
3,studiat anterior.
0

c)Este interesant ca regula lui l'Hospital se aplica nu numai pentru xo finit,dar si in cazul cand xo este "aruncat la infinit".Are loc atunci:
Fie f si g doua functii reale definite pe un interval [a,Y),aɬ.Presupunem ca:
1.f si g sunt derivabile pe [a,Y);
2.lim f(x) = lim g(x) = l,unde l = 0,Y sau -Y;
3.g'(x) 1 0pentru orice x suficient de mare(x3A,A3a);

f'(x)

4.Exista l = lim 33 ;
g'(x) f(x)
Atunci exista si limita lim 33,egala cu l.
g(x)
(un enunt similar are loc pentru x• -Y)
1

Demonstratie.Presupunem l = 0.Facem schimbarea de variabila x = 3.
1 u

Intervalul [a,Y) se transforma in (0,3) in sensul ca,daca x e [a,Y),atunci
1 a 1 1
u e (0,3 ] si reciproc. Notam j(u) = f(3),d(u)=g(3);deoarece l=0,avem
a u u 1 1
lim j(u) = lim d(u) = 0.Derivatele lor vor fi j'(u) = - 3f'(3),
1 1 u u
d'(u) = - 3 g'(3).Putem aplica functiilor j si d teorema 2 si rezulta:
u u

Cazul l =Y sau l=-Y rezulta din b).
In calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementare cu regula lui l'Hospital.

Cazurile considerate anterior acopera multe din situatiile intalnite. Retinem ca in conditiile teoremelor enuntate,existenta limitei catului derivatelor asigura existenta limitei catului initial,limitele respective fiind egale.
0 Y
Pana acum am considerat numai cazurile 3 si 3.
Y

In cazurile exceptate 0*Y,Y-Y,0 ,Y ,1 ,nu exi...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Regula lui l'Hospital
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Clopotel.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe website-ul nostru. Prin click pe butonul "Accepta" accepti utilizarea modulelor cookie. Daca ai nevoie de mai multe detalii despre cum functioneaza acestea, citeste Politica de confidentialitate