Trimite referat

Stiati ca ...

Cea mai rapida pasare terestra este strutul, care poate alerga cu viteza de 65 km/ora.

› vrei mai mult
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.



PHI

Materie: Matematica
Accesari: 3.065
Download-uri: 913
Nota: 5.05 (848 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9



Download Referat - PHI
Publicitate:

Trimis de aurel
din 10 Martie 2006

Despre numarul de aur (Phi si phi)Sa incepem cu o problema de estetica. Sa consideram un segment de dreapta. Care este cea mai "placuta" impartire a acestui segment in doua parti ? Unii ar spune ca in doua jumatati, altii ar spune ca in proportie de 3:1

Grecii antici au gasit un raspuns pe care ei il considerau corect (teoreticienii il numesc "simetrie dinamica"). Daca partii stangi a segmentului ii atribuim lungimea u=1, atunci partea dreapta va avea o lungime v=0,618... Despre un segment partitionat astfel spunem ca este impartit in Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divina).

Care este justificatia pentru inzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este ca lungimea u reprezinta aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cat reprezinta lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :

Daca notam ?=u/v, vom rezolva ecuatia pentru ?, observand ca :
Radacina pozitiva a ecuatiei, care se poate scrie
?2 - ? - 1 = 0
este :
o constanta care este numita Numarul de aur sau Proportia divina.

Daca presupunem u=1, atunci
, cum am presupus mai devreme. Notam numarul v = 0.6180339887... = ? (phi).

Numarul de aur si Fibonacci
Afirmam ca numarul nostru Phi este strans legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :

f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).
Acest sir exprima (intr-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune ca iepurii au cate doi pui o data la fiecare luna dupa ce implinesc varsta de doua luni. De asemenea, puii nu mor niciodata si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.

In felul acesta, numarul de perechi de iepuri existente dupa n luni ar trebui sa fie fn. Va puneti intrebarea ce poate avea in comun ? cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabila a matematicii. Pentru inceput sa observam ca :

? este o fractie infinita.
Acum sa privim fractiile partiale :
Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce "motiveaza" teorema ce spune ca :

In cuvinte putem spune ca, pe masura ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de ?. Aceasta teorema este valabila pentru orice secventa arbitrara ce satisface recurenta :

fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea ca primii doi termeni sunt diferiti.
Reprezentare grafica - dreptunghiuri de aur
Legatura geometrica dintre numarul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi vazuta in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur (de lungime ? si latime 1), urmeaza un sir natural de "cuibariri" ale dreptunghiurilor divine in cel initial.

Lungimea si latimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt intotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi inscrise intr-o spirala logaritmica, asa cum arata imaginea. Sa presupunem ca punctul din coltul din stanga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum intrebarea : unde se afla punctul spre care tinde spirala?

Raspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate
Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, in sensul ca orice dreapta ce trece prin punctul taie spirala sub un unghi constant. In sensul acesta, spunem ca spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastra are un unghi

Spiralele logaritmice se intalnesc destul de des si in natura. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au forma de spirala.

Alta aplicatie geometrica a numarului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fara cerc si compas. Aceasta este legata de faptul ca

Alte siruri care tind la Phi
La fel de simplu cum ? este o fractie infinita, tot asa poate fi si un radical infinit :
Iata alta serie infinita legata de ? :
Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de ? urmatoarele doua sunt mai cunoscute :
unde
Cateva curiozitati despre Phi si phi
Un prim fapt ce "sare in ochi" si este cel putin curios il constituie relatia simpla intre ?, ? si e :

Pare intr-adevar ciudat cum trei numere irationale se "leaga" printr-o expresie atat de simpla, insa matematicienii au demonstrat ca asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie sa-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate.

Coincidentele nu se opresc insa aici. Sa consideram urmatorul sir :
f0=0.6180339887...; f1=1.000; f0=1.6180339887... ; f0=2.6180339887...;

fn= f0+ f1 (oricare n32).
Din definitia sirului se observa ca oricare doi termeni consecutivi adunati il dau ca rezultat pe urmatorul. Este insa nevoie de un ochi ager pentru a observa ca prin inmultirea oricarui termen cu ?=1.6180339887... va rezulta termenul imediat urmator.

Asadar . Prezentam acum cateva egalitati simple cu ? s...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - PHI
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Clopotel.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe website-ul nostru. Prin click pe butonul "Accepta" accepti utilizarea modulelor cookie. Daca ai nevoie de mai multe detalii despre cum functioneaza acestea, citeste Politica de confidentialitate