Acest site foloseste cookies. Prin navigarea pe acest site, va exprimati acordul asupra folosirii cookie-urilor. Citeste mai mult... X
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Logaritmi

Materie: Matematica
Accesari: 43.006
Download-uri: 64.208
Nota: 6.00 (1278 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9


Download Referat - Logaritmi
Publicitate:

Trimis de aurel
din 10 Martie 2006

1.Definitia logaritmului unui numar pozitiv
Fie aɬ un numar real pozitiv,a .Consideram ecuatia exponentiala
ax=N,N... (1)
Ecuatia (1) are o solutie care este unic determinata.Aceasta solutie se noteaza
X=logaN (2)
si se numeste logaritmul numarului pozitiv baza a.
Din (1) si (2) obtinem egalitatea
alogaN=N (3)
care ne arata ca logaritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza a (a...,a )pentru a obtine numarul dat
Daca in (1) facem x=1,obtinem a1=a si deci
logaa=1 (4)

Exemple
Sa se calculeze log232.
Cum 25=32,atunci din definitia logaritmului avem log232=5.
Sa se determine log2 .

Din egalitatea 2-4= ,obtinem log2 =-4.
3)Sa sa determine log1/327.
Sa consideram ecuatia exponentiala x=27.Cum -3= -3=27,obtinem x=-3
si deci log1/327=-3.

4)Sa se determine log4256.
Cum 44=256,atunci din definitia logaritmului obtinem log4256=4.

Observatii
1.In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc si logaritmi zecimali.Acestia se noteaza cu lg in loc de log10;de aceea nu mai este nevoie sa se
specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 in loc de log10106 si lg5 in loc de log105 etc.

2.In matematica superioara apar foarte des logaritmi care au ca baza numarul irational,notat cu e,e=2,718281828... .Folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor formule matematice.Logaritmii in baza e apar in rezolvarea unor
probleme de fizica si intra in mod natural in descrierea matematica a unor procese chimice,biologice.De aceea acesti logaritmi se numesc naturali.

Logaritmul natural al numarului a se noteaza lna.
2.Functia logaritmica
Fie a...,a un numar real.La punctul 1 am definit notiunea de logaritm in baza a;fiecarui numar pozitiv N i s-a asociat un numar real bine determinat.Acest lucru ne permite sa definim o functie
f:(0,+ ) ,f(x)=logax numita functie logaritmica.

Proprietatile functiei logaritmice:
1.f(1)=0.
Cum a0=1 rezulta ca loga1=0 si deci f(1)=0.
2.Functia logaritmica este monotona.Daca a...,atunci functia logaritmica este strict crescatoare,iar daca 0<aə,functia logaritmica este strict descrescatoare.

Sa consideram cazul a... si fie x1,x2 (0,+ ) astfel incat x1<x2.Cum x1=alogax1 si X2=alogax2,rezulta ca alogax1<alogax2.Dar functia exponentiala fiind crescatoare obtinem ca logax1<logax2,adica f(x1)<f(x2).

In cazul 0<aə,din inegalitatea alogax1<alogax2 si din faptul ca functia exponentiala cu baza un numar real 0<aə este strict descrescatoare,rezulta ca logax1>logax2,adica f(x1)>f(x2).

3.Functia logaritmica este bijectiva
Daca x1,x2 (0,+ ) astfel incat f(x1)=f(x2),atunci din logax1=logax2.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obtinem x1=alogax1 si x2=alogax2,adica x1=x2.Deci f este o functie in-
jectiva.

Fie y un numar real oarecare.Notam cu x=ay.Se vede ca x si logax=logaay=y Deci f(x)=y,ceea ce ne arata ca f este si surjectiva.Asadar,f este bijectiva.

4.Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala
Functia logaritmica f:( ,f(x)=logax,fiind bijectiva,este inversabila.Inversa ei este functia exponentiala g ,g(x)=ax.
Intr-adevar,daca x avem (g f)(x)=g(f(x))=g(logax)=alogax=x si daca y ,atunci ....atunci (f y)=logaay=y.

3)Proprietatile logaritmilor
Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati
pentru logaritmi:
a.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci
loga(AB)=logaA+logaB

(logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere).
Intr-adevar,daca logaA=x si logaB=y,atunci ax=A si ay=B.Cum ax+y=ax ay,obtinem
Ax+y =A*B si deci loga(AB)=x+y=logaA+logaB.

Observatie.
Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1,A2,...,An adica
Loga(A1A2...An)=logaA1+logaA1+logaA2+...+logaAn.
b.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci
loga aA-logaB

(logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si cel al numitorului).

Intr-adevar,tinand cont de proprietatea a.,avem logaA=loga =loga +logaB,
de unde rezulta ca loga =logaA-logaB.

Observatie.
Daca punem A=1 si tinem cont ca loga1=0,obtinem egalitatea:
loga =-logaB
c.Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar,atunci
logaAm=mlogaA
(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul numarului).

Intr-adevar,daca logaA=x,atunci ax=A.Dar atunci Am=(ax)m=amx si deci logaAm=mx==mlogaA.
d.Daca A este un numar pozitiv si n un numar natural(n 2),atunci
loga =logaA/n
(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul numarului).

Intr-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietatii c,punand m= .

Exem...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Logaritmi