Trimite referat
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.

Inegalitati

Materie: Matematica
Accesari: 9.066
Download-uri: 10.130
Nota: 5.91 (1002 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9


Download Referat - Inegalitati
Publicitate:

Trimis de spider007
din 08 Noiembrie 2002

Inegalitati
In acest compartiment vor prezentate diverse metode de demonstrare a inegalitatilor, uti- lizand metodele propuse vor demonstrate atat inegalitati clasice precum si inegalitati propuse la diferite concursuri de matematica.


I. Monotonia functiilor
Se presupune ca cititorul este familiarizat cu notiunea de monotonie a functiilor si propri- etatile (criteriile) functiilor monotone.

Problema 1. Sa se compare numerele e si e.
Solutie. Se considera functia
f : [e; +1) ! R; f(x) = ln x x :
Deoarece derivata functiei f,
f0(x) = x(ln x)0 (x)0 ln x x2 = 1 ln x x2
obtine valori negative pentru orice x 2 (e; +1) si f este continua pe [e; +1) rezulta ca functia f este strict descrescatoare pe [e; +1). Prin urmare, cum e < se obtine
ln e e ln
f(e) > f( ) ) > ) lne > eln

si deci e > e.

Problema 2. Sa se studieze marginirea sirului numeric
xn = 1 +12+ : : : + 1 n (n 1):
Solutie. Initial vom demonstra inegalitatea
ln(1 + x) x (x 0): (1)
In acest scop, consideram functia
f : [0; +1) ! R; f(x) = x ln(1 + x):
Functia f este continue pe domeniul de de nitie, si pentru orice x 2 (0; +1) are loc egalitatea
f0(x) = 1 1 1 + x = x 1 + x;
0 Copyright c 1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde conchidem ca f0(x) > 0 (x 2 (0; +1)). Prin urmare functia f este o functie strict crescatoare pe domeniul de de nitie D(f), si deci f(x) f(0) (8x 0), de unde si rezulta inegalitatea (1).
In inegalitatea (1) se considera x = 1 n (n = 1; 2; : : :) si se obtine
ln 1 + 1 n 1 n (n = 1; 2; : : :)
sau
ln(n + 1) ln n 1 n (n = 1; 2; : : :): (2)
Din inegalitatile (2) deducem
ln 2 ln 1 1;
ln 3 ln 2 1 2;
ln 4 ln 3 1 3; (3)
: : : : : :
ln(n + 1) ln n 1 n:
Se sumeaza parte cu parte a inegalitatile (3) si se obtine inegalitatea
ln(n + 1) 1 +12+ : : : + 1 n:

Cum lim ln(n + 1) = +1, din ultima inegalitate rezulta ca sirul numeric xn = 1 +12+ : : : +1
n
n!1
este nemarginit.
1X 1 n
Consecinta: Seria esteoserie divergenta.
n=1
Problema 3. (inegalitatea J.Bernoulli) Pentru orice x > 1; > 1 are loc inegalitatea
(1 + x) 1 + x: (4)
In plus, egalitatea are loc numai pentru x = 0. Solutie. Consideram functia
f(x) = (1 + x) 1 x; (x 2 [ 1; +1));
unde > 1 si xat in continuare. Calculam derivata acestei functii:
f0(x) = (1 + x) 1 = ((1 + x) 1 1) (x > 1):
0 Copyright c 1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Deoarece > 1, rezulta ca f0(x) < 0 pentru x 2 ( 1; 0) si f0(x) > 0 pentru x 2 (0; +1) si prin urmare functia f este descrescatoare pe [ 1; 0] si crescatoare pe [0; +1).
De aici, conchidem ca pentru orice x 2 [ 1; +1) n f0g are loc inegalitatea f(x) > f(0), adica
(1 + x) 1 x > 1 1
sau
(1 + x) > 1 + x (x 2 [ 1; 0) [ (0; +1); > 1):
Ramane de observat ca pentru x = 0 se obtine (1 + x) = 1 + x.
Nota. Similar se demonstreaza si inegalitatile
(1 + x) 1 + x (x 1; 0 < < 1);
(1 + x) 1 + x (x 1; < 0):


Problema 4. (inegalitatea W.Young) Daca p; q 2 Rnf0; 1g poseda proprietatea1
p+ 1 q = 1;
a; b sunt numere pozitive, atunci sunt adevarate inegalitatile
ap p q
ab +b (pentru p > 1) (5)
q
si
ap p q
ab +b (pentru p < 1) (6)
q
Mai mult, egalitate se atinge daca si numai daca ap = bq.
Solutie. Consideram cazul p > 1. Fixam un numar pozitiv a (a > 0) si examinam functia
ap p q
f : (0; +1) ! R; f(b) = +b ab:
q
Derivata acestei functii este
f0(b) = b q 1 a;
si prin calcule elementare se determina ca punctul b = a 1
q 1 este un punct de minim local.
Astfel
f(b) f(a 1
q 1 ) (b > 0): (7)
Din inegalitatea (7) tinand seama ca 1 p+ 1 q = 1 se obtine
ap p q 1 p+ 1 q
+b ab 0 (a > 0; b > 0; p > 1; = 1)
q
si deci inegalitatea (5) este demonstrata. Mai mult, din (7) rezulta ca egalitatea are loc numai in cazul in care b = a 1
q 1 , adica daca ap= bq.
0 Copyright c 1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Inegalitatea (6) se demonstreaza in mod similar.

Problema 5. Sa se demonstreze inegalitatea
jsinxj jxj (x 2 R): (8)
Solutie. Tinand seama ca functiile f(x) = j sin xj si g(x) = jxj sunt functii pare, este su cient de demonstrat egalitatea (8) pentru x 0. In plus, cum j sin xj 1, este su cient de studiat cazul 0 x 1.
In acest scop, consideram functia
f : [0; 1] ! R; f(x) = x sin x:
Derivata functiei f are forma
f0(x) = 1 cos x (x 2 [0; 1]):
In baza marginirii functiei cosinus (j cos xj 1; x 2 R), deducem ca f0(x) 0, care la randul sau implica ca functia f este monoton crescatoare pe domeniul sau de de nitie, si deci are loc inegalitatea
f(x) f(0) (x 2 [0; 1]);
sau
x sin x 0; (x 2 [0; 1])
de unde rezulta inegalitatea initiala.

Problema 6. Sa se arate ca
a2(b c) + b2(c a) + c2(a b) > 0;
daca a > b > c.
Solutie. Examinam functia f ...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Inegalitati
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Acest site foloseste cookies. Prin navigarea pe acest site, va exprimati acordul asupra folosirii cookie-urilor. Detalii aici OK