Trimite referat

Stiati ca ...

In afara literelor "Q", "W" si "Y" care nu sunt specifice limbii romane, cea mai rara consoana in cuvintele limbii romane este "X", urmata de "J".

› vrei mai mult
Referatele si lucrarile oferite de Clopotel.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.



Functii derivabile

Materie: Matematica
Accesari: 24.921
Download-uri: 4.987
Nota: 5.61 (1556 note)
Am probleme cu acest referat!

1 2 3
4 5 6
7 8 9



Download Referat - Functii derivabile
Publicitate:

Trimis de aurel
din 10 Martie 2006

Notiuni teoretice
I. Derivata unei functii intr-un punct
I. Originea notiunii de derivata

Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica -tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.

I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct
Fie o functie f : E - R (E R) si , x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca f este definita in x0.

DEFINITIA 1:
1) Se spune ca f are derivata in punctul x0, daca exista ( in )
notata cu f'(x0);

2) Daca derivata f'(x0) exista si este finita se spune ca functia f este derivabila in x0.

Observatii. 1. Se poate intampla ca f'(x0) sa existe si sa fie .

2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).Presupunem ca f'(x0) exista; facand translatia x - x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca

DEFINITIA 2:
Daca o functie f: E - R este derivabila in orice punct al unei submultimi F E, atunci se spune ca f este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F - R, x - f'(x) se numeste derivata lui f pe multimea F si se noteaza cu f'. Operatia prin care f' se obtine din f se numeste derivarea lui f.

TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.Demonstratia este simpla: Presupunem ca f: E - R este derivabila in punctul x E, deci limita din definitia 1 exista si este finita.

In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine.In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite.

DEFINITIA 3.
Fie E R si x0 E un punct de acumulare pentru E . Daca limita exista (in R barat ), atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x0.Daca , in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca f este derivabila la stanga in punctul x0.In mod similar se definesc derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in x0.

TEOREMA 2. Daca f: E - R este derivabila in punctul x0 E, atunci f este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si Reciproc, daca f este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si daca , atunci f este derivabila in x0 si Daca E=[ a, b], faptul ca f este derivabila in a (respectiv b) revine la aceea ca f este derivabila la dreapta in punctul a (respectiv la stanga in b).

Exemplu : Pentru f : R-R, f(x) =| x |, avem
Similar se obtine ca: regasim ca f nu este derivabila in punctul x = 0.

I.2o Interpretarea geometrica a derivatei
Daca f: (a, b)-R este o functie derivabila intr-un punct x0 (a, b), atunci conform relatiilor graficul lui f are tangenta in x0 (sau mai corect in punctul (x0, f(x0)), anume dreapta de ecuatie

Asadar f'(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui f, in punctul (x0,f(x0)). Daca f'(x0)= (in sensul ca limita din definitie este infinita), atunci tangenta in (x0, f(x0)) este paralela cu axa Oy.

Fara nici o dificultate , se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stanga intr-un punct la un grafic, in legatura cu derivatele laterale respective in acel punct. Geometric, pentru o functie derivabila intr-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stanga la grafic in acel punct coincid.

Daca intr-un punct x0, f este continua si avem (sau invers), atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui f.

Daca o functie f: E - R (E R) este continua intr-un punct x0 E, daca exista ambele derivate laterale, cel putin una dintre ele fiind finita, dar functia nu este derivabila in x0, atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui f (fig.2.). Intr-un punct unghiular cele doua semitangente, la stanga si la dreapta, formeaza un unghi ?

Exemple :
Pentru functia f(x) = , scriem ecuatia tangentei in punctul x0 = 1.Avem si ecuatia ceruta este (fig. 3).

II. Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale

Am intalnit deja exemple de functii derivabile. Este utila o sinteza a derivatelor functiilor uzuale si se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de functii derivabile.

II.1o Derivatele catorva functii uzuale
Orice functie constanta f: R - R, f(x)=c este derivabila pe R, cu derivata nula

(1).Functia putere f: R - R, f(x) = xn ( n real si x > 0) este derivabila pe R si f'(x)=nxn-1.

(2).Functia logaritmica f: (0, ) - R, f (x) = ln x este derivabila pe domeniul de definitie si are derivata

(3).Functiile trigon...

Atentie : Textul de mai sus este doar un preview al referatului, pentru a vedea daca continutul acestui referat te poate ajuta. Pentru varianta printabila care poate sa contina imagini sau tabele apasa butonul de 'download' !!!
Download Referat - Functii derivabile
X

Raporteaza-ne problema !

Te rugam sa ne spui ce problema ai intampinat cu acest referat. Prin contributia ta acest site va deveni cea mai tare resursa de referate online din Romania. Iti multumim pentru sprijinul acordat!





Clopotel.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe website-ul nostru. Prin click pe butonul "Accepta" accepti utilizarea modulelor cookie. Daca ai nevoie de mai multe detalii despre cum functioneaza acestea, citeste Politica de confidentialitate